Jak obliczyć szanse na wygraną 1.1 miliarda dolarów i wartość losu Mega Millions?

Wygląda na to, że każdy bilet o wartości 2 USD jest wart 3.60 USD. Ale tak nie jest.

Prawdopodobny jackpot w losowaniu Mega Millions 29 lipca: 1.1 miliarda dolarów. Szanse, że Twój kupon go wygra: nieco więcej niż 1 na 300 milionów.

Podziel jedną liczbę przez drugą. Wygląda na to, że oczekiwana wypłata biletu za 2 USD wynosi 3.60 USD. Więc powinieneś kupić ich całe ramię?

Nie, a ten esej omówi arytmetykę dlaczego. Jeśli musisz, kup jeden bilet dla zabawy. Kupowanie dwóch byłoby głupie.

Istnieją trzy powody, dla których jackpot jest zbyt skromny, aby zapewnić biletowi pozytywny oczekiwany zwrot. Po pierwsze, reklamowany numer wprowadza w błąd. Pula ma być wydana przez 30 lat. Jeśli chcesz to wszystko na raz, to skurczy się do 648 milionów dolarów.

Już teraz Twoja oczekiwana wypłata spadła do 2 USD i zmieniła się, niewiele lepiej niż próg rentowności.

Następnym problemem jest to, że możesz dzielić się tymi pieniędzmi. Jest 35% szans, że będzie jeszcze jeden zwycięzca, więc dostaniesz tylko połowę. Istnieje 40% szans, że będziesz dzielić się z dwoma lub więcej innymi zwycięzcami.

Ryzyko konieczności dzielenia się obniża wartość jackpota do 1.17 USD.

Ostatnia fryzura dotyczy podatków. Stawka federalna w przypadku dużej gratki wynosi 37%. Stawka stanowa i lokalna może wynosić od 0% (np. w Teksasie) do 14.8% (w Nowym Jorku). Poniższa tabela wypłat zakłada 5% stanowe i lokalne trafienie.

Z łącznym podatkiem 42% Twoja oczekiwana wypłata z jackpota spada do 68 centów. Mniejsze nagrody są trochę warte, ale nie na tyle, aby podnieść wartość losu na loterię powyżej dolara.

Istnieje wyselekcjonowana grupa graczy lotto, którzy radzą sobie nieco lepiej, ponieważ ich wypłata z najmniejszych wypłat jest zwolniona z podatku. Ta grupa to ludzie, którzy są zarówno bogaci, jak i głupi. Wyjaśnię później.

Gra Mega Millions polega na wybraniu pięciu różnych liczb z zakresu od 1 do 70 oraz jednej Mega liczby z zakresu od 1 do 25. Pierwsze pięć jest jak rozdanie pokerowe i ich kolejność nie ma znaczenia. Numer Mega może być taki sam jak ten wylosowany w pierwszej grupie.

Aby wygrać jackpot, musisz trafić wszystkie sześć liczb. Jeśli dopasujesz pierwszą piątkę, ale nie Megaball, otrzymasz milion dolarów. Za słabsze mecze są mniejsze nagrody.

Pomijam w tej dyskusji opcję „mnożnika”, która kosztuje dodatkowego dolara i zapewnia lepsze wypłaty z nagród sub-jackpot.

Małe nagrody są stałe. Jackpot nie jest. Zaczyna się od małego i rośnie za każdym razem, gdy jest losowanie bez zwycięzcy jackpota.

Pod koniec losowania 26 lipca pula wynosiła 830 milionów dolarów. Operatorzy loterii szacują, że na losowanie 415 lipca zostanie sprzedanych nieco ponad 27 milionów losów, co daje 831 milionów dolarów sprzedaży brutto. Do puli trafia 32.5% z tego, czyli 270 milionów dolarów. Dałoby to pulę w piątek wieczorem w wysokości 1.1 miliarda dolarów. To jest przed zniżką za natychmiastową wypłatę.

Nie módl się o szał zakupów ostatniego dnia, który sprawi, że jackpot będzie większy niż oficjalne szacunki. Zwiększyłoby to również ryzyko, że inni zwycięzcy rzucą się na twoje pieniądze. Efektem netto sprzedaży biletów w tym momencie jest obniżenie wartości każdego biletu.

Oto moje obliczenie, ile wart jest bilet:

Być może zastanawiasz się, skąd pochodzą niektóre z tych liczb.

Aby obliczyć szanse na wygraną jackpota, zacznij od pomnożenia tej liczby:

70x69x68x67x66,

czyli ilość sposobów na pobranie pięciu kulek z urny zawierającej 70 kulek bez wymiany, a następnie podzielenie przez tę ilość:

5x4x3x2,

czyli liczbę sposobów na sekwencjonowanie pięciu przedmiotów (pamiętaj, że loteria nie dba o porządek).

Kiedy skończysz, pomnóż przez 25, ponieważ masz tylko 1 na 25 szans na przybicie Mega kuli.

Wynik: 1 szansa na 302,575,350 wygranej. Innymi słowy, kurs 302,575,349 1 XNUMX do XNUMX przeciwko.

Dopasowanie czterech głównych liczb jest 325 razy bardziej prawdopodobne. To dlatego, że istnieje pięć różnych liczb, które można pomylić, a dla każdej z nich 65 różnych błędnych liczb.

Jeśli chodzi o udostępnianie, to się trochę komplikuje. Musisz obliczyć współczynnik podziału. Dodaj prawdopodobieństwo, że nie ma innych zwycięzców… do ½ prawdopodobieństwa, że ​​jest jeden inny… do 1/3 prawdopodobieństwa, że ​​jest dwóch innych… i tak dalej.

Pominę szczegóły, ale zauważ, że pierwsze z tych prawdopodobieństw (że żaden z pozostałych 415 milionów kuponów nie jest zwycięzcą jackpota) jest bardzo ściśle przybliżone przez e^-R, gdzie e jest liczbą, której miałeś się nauczyć z matematyki class i R to stosunek 415 mln do 302.5 mln.

A co z unikaniem rachunku podatkowego? Trudno to zrobić z większymi nagrodami. W przypadku małych wypłat możesz skorzystać z odliczenia podatkowego za straty w grach hazardowych. Jeśli jesteś regularnym graczem i zachowujesz przegrane kupony, możesz mieć wystarczająco dużo, aby odpisać wygraną w wysokości 500 $. Jednak potrącenie jest ograniczone do kwoty zgłoszonych wygranych i mogą się o nie ubiegać tylko osoby, które wyszczególniają potrącenia.

Ogólnie rzecz biorąc, aby czerpać korzyści z wyszczególniania przedmiotów, musisz być bogaty. Aby być zwykłym graczem w lotto, musisz być głupi.